Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數（x₁，y₂）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”，給出下列六個集合：
①M={（x，y）|y=-

1

x

}
②M={（x，y）|y=x²-1}
③M={（x，y）|y=e^x-2}
④M={（x，y）|y=cosx}
⑤={（x，y）|y=2+sinx}
⑥M={（x，y）|y=lnx}，
其中是“垂直對點集”的序號是

 

（寫出所有是“垂直對點集”的序號）．

Answer 1

分析：對于①，利用x₁•x₂+

1

x1•x2

=0無實數解，判斷其正誤即可．
對于③，畫出函數y=e^x-2圖象，利用圖象說明函數滿足“垂直對點集”的定義，即可判斷正誤；
對于④，畫出函數y=cosx圖象，利用圖象說明函數滿足“垂直對點集”的定義，即可判斷正誤；
對于⑥，取一個特殊點（1，0）說明不滿足“垂直對點集”定義．

解答：解：對于①，注意到x₁•x₂+

1

x1•x2

∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故x₁•x₂+

1

x1•x2

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0無實數解，因此①不是“垂直對點集”； 
對于②，如下圖，注意到過原點任意作一條直線與曲線y=x²-1相交，過原點與該直線垂直的直線必與曲線y=x²-1相交，因此②是“垂直對點集”；

對于③，如下圖，注意到過原點任意作一條直線與曲線y=e^x-2相交，過原點與該直線垂直的直線必與曲線y=e^x-2相交，因此③是“垂直對點集”；

對于④，如下圖，注意到過原點任意作一條直線與曲線y=cosx相交，過原點與該直線垂直的直線必與曲線y=cosx相交，因此④是“垂直對點集”；

對于⑤，注意到對于點（0，2）不存在（x₂，y₂）∈M，使得0×x₂+2×2+sinx₂=0，因為sinx₂=-2與正弦函數的值域為[-1，1]，因此⑤不是“垂直對點集”．
對于⑥，注意到對于點（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lnx₂=0，因為x₂=0與真數的限制條件x₂＞0矛盾，因此⑥不是“垂直對點集”．
故答案為：②③④

點評：點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了元素與集合的關系，考查了數形結合的思想，解答的關鍵是對新定義的理解，是中檔題．