如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角B-PC-A的余弦值．
分析：通過距離空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．
解答：解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
易證
BD
為面PAC的法向量，則
BD
=(-2，-1，0)．
設(shè)面PBC的法向量
n
=(a，b，c)，
PB
=(0，1，-4)，
BC
=(-2，3，0)，
∴
n
•
PB
=b-4c=0
n
•
BC
=-2a+3b=0
，令c=1，則b=4，a=6．
∴面PBC的法向量
n
=(6，4，1)．
∴cos=
BD
•
n
|
BD
| |
n
|
=
-12-4
5
×
53
=-
16
265
265
．
∵面PAC和面PBC所成的角為銳角，∴二面角B-PC-A的余弦值為
16
265
265
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過距離空間直角坐標(biāo)系的方法利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求出二面角是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G，點(diǎn)E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長(zhǎng)；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點(diǎn)
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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