Question

橢圓+=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=a，且a∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A．[，1]
B．[，]
C．[，1）
D．[，]

Answer 1

【答案】分析：設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e，進(jìn)而根據(jù)α的范圍確定e的范圍．
解答：解：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴B也在橢圓上
設(shè)左焦點(diǎn)為F′
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴=
即e==
∵a∈[，]，
∴≤α+π/4≤
∴≤sin（α+）≤1
∴≤e≤
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．要特別利用好橢圓的定義．