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一般地，如果函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，那么對定義域內的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數數學公式的定義域為R，其圖象關于點數學公式對稱．
（1）求常數m的值；
（2）解方程：數學公式；
（3）求證：數學公式（n∈N+）．

（1）解：∵函數的圖象關于點對稱，∴f（x）+f（1-x）=1
∴+=1
∴+=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，
∵
∴
∴[]2--2=0
∴=2或
∴x=；
（3）證明：設可寫成
兩式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴，所以．
分析：（1）利用函數的圖象關于點對稱，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化簡，可得結論；
（2）由（1）知，，代入化簡方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得結論．
點評：本題考查函數的對稱性，考查對數方程，考查等式的證明，正確運用函數的對稱性是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

一般地，如果函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，那么對定義域內的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數f(x)=
4x
4x+m
的定義域為R，其圖象關于點M(
1
2
，
1
2
)對稱．
（1）求常數m的值；
（2）解方程：log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2；
（3）求證：f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-2
n
)+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)=
3n+1
6
（n∈N+）．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南師大附中高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

一般地，如果函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，那么對定義域內的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數的定義域為R，其圖象關于點對稱．
（1）求常數m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N+）．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南省衡陽八中高一（上）五科聯(lián)賽數學試卷（解析版） 題型：解答題

一般地，如果函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，那么對定義域內的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數的定義域為R，其圖象關于點對稱．
（1）求常數m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N+）．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南師大附中高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

一般地，如果函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，那么對定義域內的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數的定義域為R，其圖象關于點對稱．
（1）求常數m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N+）．

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