Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且-1，S_n，a_n+1成等差數(shù)列（n∈N^*），a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n+1=b_n+

1

3an

（n≥1）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（3）函數(shù)f（x）=log₃x，設數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

(n+3)[f(an)+2]

求數(shù)列{c_n}的前n項和R_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2S_n=a_n+1-1，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1，兩式相減得

an+1

an

=3，再求得

a2

a1

=3，由此可判斷a_n}是等比數(shù)列，可求a_n；
（2）利用累加法可求b_n，再由分組求和可得T_n．
（3）表示出c_n，拆項后利用裂項相消法可求得R_n．注意消項規(guī)律；

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n+1-1，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1，
∴2（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n，
∴

an+1

an

=3，
∵2a₁=a₂-1，∴a₂=3，

a2

a1

=3，
∴{a_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴an=3n-1．
（2）bn+1=bn+

1

3•3n-1

，∴bn-bn-1=

1

3n-1

，
累加得bn=

3

2

(1-

1

3n

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

2

n-

3

4

(1-

1

3n

)．
（3）cn=

1

(n+3)(n+1)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
Rn=

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+(

1

3

-

1

5

)+（

1

4

-

1

6

）+…+(

1

n+1

-

1

n+3

)]
=

1

2

[

5

6

-

2n+5

(n+2)(n+3)

]．

點評：該題考查由遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和、等比數(shù)列的性質，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．