【題目】設M、N、T是橢圓 上三個點,M、N在直線x=8上的攝影分別為M1、N1 .
(Ⅰ)若直線MN過原點O,直線MT、NT斜率分別為k1 , k2 , 求證k1k2為定值.
(Ⅱ)若M、N不是橢圓長軸的端點,點L坐標為(3,0),△M1N1L與△MNL面積之比為5,求MN中點K的軌跡方程.
【答案】解:(Ⅰ)設M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0 , y0),則h1h2= , 又 兩式相減得 ,
即h1h2= =﹣ ,
(Ⅱ)設直線MN與x軸相交于點R(r,0),s△MNL= ×|r﹣3||yM﹣yN|
= | .
由于△M1N1L與△MNL面積之比為5且|yM﹣yN|=| ,得
=5 ,r=4(舍去)或r=2.
即直線MN經(jīng)過點F(2,0).設M(x1 , y1),N(x2 , y2),K(x0 , y0)
①當直線MN垂直于x軸時,弦MN中點為F(2,0);
② 當直線MN與x軸不垂直時,設MN的方程為y=k(x﹣2),則
聯(lián)立 .(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0
.
x0= .
消去k,整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).
綜上所述,點K的軌跡方程為(x﹣1)2+ =1(x>0)
【解析】(Ⅰ)設M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0 , y0),則h1h2= , 又 即可得h1h2(Ⅱ)設直線MN與x軸相交于點R(r,0),根據(jù)面積之比得r
即直線MN經(jīng)過點F(2,0).設M(x1 , y1),N(x2 , y2),K(x0 , y0)
分①當直線MN垂直于x軸時,②當直線MN與x軸不垂直時,設MN的方程為y=k(x﹣2)
x0= /span> . 消去k,整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x﹣φ)﹣ sin(2x﹣φ)(|φ|< )的圖象向右平移 個單位后關于y軸對稱,則f(x)在區(qū)間 上的最小值為( )
A.﹣1
B.
C.
D.﹣2
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足2f(4﹣x)=f(x)+x2﹣2,則曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當a=2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設a> ,且當x∈[ ,a]時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
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【題目】設f(x)=ex , f(x)=g(x)﹣h(x),且g(x)為偶函數(shù),h(x)為奇函數(shù),若存在實數(shù)m,當x∈[﹣1,1]時,不等式mg(x)+h(x)≥0成立,則m的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|ax﹣2|.
(Ⅰ)當a=2時,解不等式f(x)>x+1;
(Ⅱ)若關于x的不等式f(x)+f(﹣x)< 有實數(shù)解,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,四邊形PDCE為矩形,四邊形ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= CD=1.
(1)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(2)若平面PAD與PBC所成的銳二面角的大小為 ,求線段PD的長度.
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