【題目】設M、N、T是橢圓 上三個點,M、N在直線x=8上的攝影分別為M1、N1
(Ⅰ)若直線MN過原點O,直線MT、NT斜率分別為k1 , k2 , 求證k1k2為定值.
(Ⅱ)若M、N不是橢圓長軸的端點,點L坐標為(3,0),△M1N1L與△MNL面積之比為5,求MN中點K的軌跡方程.

【答案】解:(Ⅰ)設M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0 , y0),則h1h2= , 又 兩式相減得 ,
即h1h2= =﹣ ,
(Ⅱ)設直線MN與x軸相交于點R(r,0),sMNL= ×|r﹣3||yM﹣yN|
= |
由于△M1N1L與△MNL面積之比為5且|yM﹣yN|=| ,得
=5 ,r=4(舍去)或r=2.
即直線MN經(jīng)過點F(2,0).設M(x1 , y1),N(x2 , y2),K(x0 , y0
①當直線MN垂直于x軸時,弦MN中點為F(2,0);
② 當直線MN與x軸不垂直時,設MN的方程為y=k(x﹣2),則
聯(lián)立 (3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0

x0=
消去k,整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).
綜上所述,點K的軌跡方程為(x﹣1)2+ =1(x>0)
【解析】(Ⅰ)設M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0 , y0),則h1h2= , 又 即可得h1h2(Ⅱ)設直線MN與x軸相交于點R(r,0),根據(jù)面積之比得r
即直線MN經(jīng)過點F(2,0).設M(x1 , y1),N(x2 , y2),K(x0 , y0
分①當直線MN垂直于x軸時,②當直線MN與x軸不垂直時,設MN的方程為y=k(x﹣2)
x0= /span> 消去k,整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).

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