Question

4．設(shè)m＞0，n＞0，x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{mx-y≥0}\\{x+ny≥0}\\{x≤1}\end{array}\right.$．若nx+y的最大值為2，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為2．

Answer 1

分析 畫(huà)出不等式組表示的可行域，作出直線l₀：y=-nx，平移直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，m）取得最大值2，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖：
作出直線l₀：y=-nx，
平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m）時(shí)，
nx+y取得最大值，且為n+m，
由題意可得m+n=2，m，n＞0，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$）
=$\frac{1}{2}$×（2+2）=2．當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，取得最小值，且為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的運(yùn)用，考查運(yùn)用基本不等式求最值的方法，注意乘1法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．