Question

8．已知n∈N^*，在（x+2）ⁿ的展開式中，第二項系數(shù)是第三項系數(shù)的$\frac{1}{5}$，
（Ⅰ）展開式中二項式系數(shù)最大項；
（Ⅱ）若$（x+2）^{n}={a}_{0}+{a}_{1}（x+1）+{a}_{2}（x+1）^{2}+…+$${a}_{n}（x+1）^{n}$，求：
①a₁+a₂+…+a_n的值；
②a₁+2a₂+…+na_n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件求得n=6，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)、二項展開式的通項公式，求得展開式中二項式系數(shù)最大項．
（Ⅱ）在所給的等式中，①令x=-1，可得a₀=1，再令x=0，可得要求的式子的值；②對于（x+2）⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+${a}_{n}（x+1）^{n}$，兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù)，再令x=0，可得要求的式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵已知n∈N^*，在（x+2）ⁿ的展開式中，第二項系數(shù)是第三項系數(shù)的$\frac{1}{5}$，
∴2${C}_{n}^{1}$=$\frac{1}{5}$•2²•${C}_{n}^{2}$，求得n=6，
故展開式中二項式系數(shù)最大項為第四項，T₄=${C}_{6}^{3}$•x³•2³=160x³．
（Ⅱ）①若$（x+2）^{n}={a}_{0}+{a}_{1}（x+1）+{a}_{2}（x+1）^{2}+…+$${a}_{n}（x+1）^{n}$=[（x+1）+1]⁶，
令x=-1，可得a₀=1，
再令x=0，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=64，∴a₁+a₂+…+a_n=63．
②對于（x+2）⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+${a}_{n}（x+1）^{n}$，兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù)，
可得6（x+2）⁵=a₁+2a₂（x+1）+…+6a₆（x+1）⁵，
再令x=0，可得a₁+2a₂+…+na_n =a₁+2a₂+…+6a ₆=192．

點(diǎn)評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于中檔題．