Question

（2012•浦東新區(qū)二模）在證明恒等式12+22+32+…+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)(n∈N*)時，可利用組合數表示n²，即n2=2

C

2 n+1

-

C

1 n

(n∈N*)推得．類似地，在推導恒等式13+23+33+…+n3=[

n(n+1)

2

]2(n∈N*)時，也可以利用組合數表示n³推得．則n³=

6

C

3 n+1

+

C

1 n

．

Answer 1

分析：由n2=2

C

2 n+1

-

C

1 n

(n∈N*)，即 n2=2

×1C

2 n+1

-

C

1 n

，類比可得n³=3×2×1×

C

3 n+1

+

C

1 n

=6×

C

3 n+1

+

C

1 n

，由此得到答案．

解答：解：由于 n2=2

C

2 n+1

-

C

1 n

(n∈N*)，即 n2=2

×1C

2 n+1

-

C

1 n

，
類比可得n³=3×2×1×

C

3 n+1

+

C

1 n

=6×

C

3 n+1

+

C

1 n

，
故答案為 6×

C

3 n+1

+

C

1 n

．

點評：本題主要考查的知識點是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），屬于基礎題．