Question

已知函數(shù)f(x)=lg

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）討論f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f(x)=lg

x+1

x-1

=lg

x-1+2

x-1

=lg(1+

2

x-1

)，由

2

x-1

≠0，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）先求得函數(shù)定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再研究f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=lg

x+1

x-1

=lg

x-1+2

x-1

=lg(1+

2

x-1

)，
∵

2

x-1

≠0，∴f（x）≠lg1，即f（x）≠0．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1，或x＞1．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜-1，或x＞1}，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵f(-x)=lg

-x+1

-x-1

=lg

x-1

x+1

，
又∵f(x)+f(-x)=lg

x+1

x-1

+lg

x-1

x+1

=lg(

x+1

x-1

•

x-1

x+1

)=lg1=0，
∴f（-x）=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)值域的求解，屬中檔題，定義是解決該類問題的基本方法．