Question

（2012•徐匯區(qū)一模）某種型號(hào)汽車(chē)的四個(gè)輪胎半徑相同，均為R=40cm，該車(chē)的底盤(pán)與輪胎中心在同一水平面上．該車(chē)的涉水安全要求是：水面不能超過(guò)它的底盤(pán)高度．如圖所示：某處有一“坑形”地面，其中坑ABC形成頂角為120°的等腰三角形，且AB=BC=60cm，如果地面上有h（cm）（h＜40）高的積水（此時(shí)坑內(nèi)全是水，其它因素忽略不計(jì)）．
（1）當(dāng)輪胎與AB、BC同時(shí)接觸時(shí)，求證：此輪胎露在水面外的高度（從輪胎最上部到水面的距離）為d=10+

80 3

3

-h；
（2）假定該汽車(chē)能順利通過(guò)這個(gè)坑（指汽車(chē)在過(guò)此坑時(shí)，符合涉水安全要求），求h的最大值．（精確到1cm）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)輪胎與AB邊的切點(diǎn)為T(mén)，輪胎中心為O，則|OT|=40，由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，可得OB|=

2×40

3

，由此求得從B點(diǎn)到輪胎最上部的距離．
（2）由題意可得只要d≥40，即

80

3

+10-h≥4040，由此求得h的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)輪胎與AB、BC同時(shí)接觸時(shí)，設(shè)輪胎與AB邊的切點(diǎn)為T(mén)，輪胎中心為O，則|OT|=40，
由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，…..（2分）
故|OB|=

2×40

3

..…..（4分）
所以，從B點(diǎn)到輪胎最上部的距離為

2×40

3

+40，…..（6分）
此輪胎露在水面外的高度為d=

2×40

3

+40-（60cos60°+h）=

80

3

+10-h，得證．…..（8分）
（2）只要d≥40，…..（12分）
即

80

3

+10-h≥4040，解得h≤16cm，
所以h的最大值為16cm．…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．