解答:解:(1)令t=log
2x,則x=2
t,
故f(t)=a(2
t)
2-2•2
t+1-a.
∴f(x)=a(2
x)
2-2•2
x+1-a,
(2)再設(shè)m=2
x,則m>0,y=am
2-2m+1-a,
①當a=0時,y=-2m+1(m>0),在(0,+∞)上是減函數(shù),其值域為(-∞,1);
②當a>0時,y=am
2-2m+1-a的對稱軸m=
>0,
故其在(0,
)上是減函數(shù),在(
,+∞)上是增函數(shù).其值域為(-
+1-a,+∞);
③當a<0時,y=am
2-2m+1-a的對稱軸m=
<0,
故其在(0,+∞)上是減函數(shù).其值域為(-∞,1-a);
(3)∵h(x)=a•2
x+(1-a)2
-x-2,
∴h′(x)=aln2•2
x-(1-a)lna•2
-x,
由h′(x)=aln2•2
x-(1-a)lna•2
-x=0,得x
0=
log
2(0<a<1).
由x
0=
log
2>1得0<a<
,由x
0=
log
2<-1,得a>
,
∵h(0)=-1,h(1)=
(a-1),
由f(1)>f(0),得
(a-1)>-1,得a>
.
①當0<a≤
時,h′(x)=aln2•2
x-(1-a)lna•2
-x<0恒成立,函數(shù)h(x)在[-1,1]上是減函數(shù),
∴函數(shù)h(x)在[-1,1]內(nèi)的最大值是h(-1)=-
a,最小值是h(1)=
(a-1).
∵對任意x
1,x
2∈[-1,1]總有
|h(x1)-h(x2)|≤成立,
∴-
a-
(a-1)≤
,∴a≥2.不合,舍去.
②當
<a≤
時,函數(shù)h(x)在[-1,x
0]上是減函數(shù),在(x
0,1]上是增函數(shù)
∴函數(shù)h(x)在[-1,1]內(nèi)的最大值是h(-1)=-
a,最小值是h(x
0)=2
-2.
∵對任意x
1,x
2∈[-1,1]總有
|h(x1)-h(x2)|≤成立,
∴-
a-2
+2≤
,
∴
≥a≥
.
③當
<a≤
時,函數(shù)h(x)在[-1,x
0]上是減函數(shù),在(x
0,1]上是增函數(shù)
∴函數(shù)h(x)在[-1,1]內(nèi)的最大值是h(1)=
(a-1),最小值是h(x
0)=2
-2.
∵對任意x
1,x
2∈[-1,1]總有
|h(x1)-h(x2)|≤成立,
∴
(a-1)-2
+2≤
,
∴
<a≤
.
④當a>
時,h′(x)=aln2•2
x-(1-a)lna•2
-x>0恒成立,函數(shù)h(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴函數(shù)h(x)在[-1,1]內(nèi)的最大值是h(1),最小值是h(-1).
∵對任意x
1,x
2∈[-1,1]總有
|h(x1)-h(x2)|≤成立,
∴
(a-1)+
a≤
,
∴a≤
.不合,舍去.
綜上所述,a的取值范圍為[
,
].