Question

已知函數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當a=1，且x≥2時，證明：f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）導數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線斜率，垂直的直線斜率互為負倒數(shù)．
（Ⅱ）導數(shù)大于0，對應區(qū)間為單調遞增區(qū)間；導數(shù)小于0，對應區(qū)間為單調遞減區(qū)間
（Ⅲ）用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)的最值，證明不等式．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，．
又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，
即a=1．
（Ⅱ）由于．
當a≥0時，對于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定義域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當a＜0時，由f'（x）=0，得．
當時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
（Ⅲ）當a=1時，x∈[2，+∞）．
令．．
當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）單調遞減．
又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒為負．
所以當x∈[2，+∞）時，g（x）≤0．
即．
故當a=1，且x≥2時，f（x-1）≤2x-5成立．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義；切點處的導數(shù)為切線斜率；用導數(shù)求單調區(qū)間：導數(shù)大于0，對應區(qū)間為單調遞增區(qū)間；導數(shù)小于0，對應區(qū)間為單調遞減區(qū)間；用導數(shù)求最值，證明不等式．