Question

（2006•西城區(qū)二模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求證：在數(shù)列{a_n}中對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n；
（3）設(shè)cn=(

2

)bn，試問(wèn)數(shù)列{c_n}中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義，證明b_n+1-b_n為常數(shù)即可；
（2）確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，作差比較，即可得到結(jié)論；
（3）利用反證法，假設(shè)在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）項(xiàng)成等差數(shù)列，從而得出矛盾．

解答：（1）證明：bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=2，
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b1=

2

2a1-1

=2，公差為2的等差數(shù)列；
（2）證明：由（1）知b_n=2n，n∈N^*，
所以an=

n+1

2n

=

1

2

(1+

1

n

)，an+1=

1

2

(1+

1

n+1

)，
所以an+1-an=

1

2

(1+

1

n

)-

1

2

(1+

1

n+1

)=

1

2

(

1

n+1

-

1

n

)＜0．
即：對(duì)任意的n∈N^*，a_n+1＜a_n
（3）解：由（2）知，cn=(

2

)2n=2n，
假設(shè)在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）項(xiàng)成等差數(shù)列，
則：2•2^P=2^m+2^q，∴2^p+1=2^m+2^q，∴2^p+1-m=2^q-m+1，
因?yàn)閙，p，q∈N^*
所以2^p+1-m為偶數(shù)，2^q-m+1為奇數(shù)，兩者不可能相等，即假設(shè)不成立，
所以在數(shù)列{c_n}中不存在三項(xiàng)可以構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查反證法的運(yùn)用，屬于中檔題．