已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
1
2
anan+1(n∈N*)，a1=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：
1
a12
+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an2
＜
7
4
．
（1）∵Sn=
1
2
anan+1，①
∴Sn-1=
1
2
an-1an(n≥2)，②
①-②得an=Sn-Sn-1=
1
2
(an+1-an-1)an
∵an≠0，∴an+1-an-1=2．
數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為a1=1，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為a2，公差為2的等差數(shù)列．
∵a1=1，∴a2=
S1
1
2
a1
=2，
∴a2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a2n=2+（n-1）×2=2n．
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n．（n∈N*）；
（2）證明：當(dāng)n≥3時(shí)，
1
an2
=
1
n2
＜
1
(n-1)n
=
1
(n-1)
-
1
n
，則
1
a12
+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an2
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1+
1
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+
1
(n-1)
-
1
n
=
7
4
-
1
n
＜
7
4

當(dāng)n=1時(shí)，
1
a12
=1＜
7
4
；  當(dāng)n=2時(shí)，
1
a12
+
1
a22
=
5
4
＜
7
4
；
∴
1
a12
+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an2
＜
7
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：湖南省師大附中2010屆高三第三次月考（理） 題型：解答題

 

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“科比數(shù)列”．

（Ⅰ）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為零，若為“科比數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意 都成立，試推斷數(shù)列是否為“科比數(shù)列”？并說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

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