19．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，D是BC的一個三等分點，則AD的最大值是1+$\sqrt{3}$．

分析 根據(jù)正弦定理得到三角形的外接圓的半徑，即可求出AD的最大值．

解答 解：如圖建立坐標系，
∴△ABC的外接圓滿足2R=$\frac{3}{sin60°}$，
∴R=$\sqrt{3}$，
∵若AD取最大值，
∴A，M，D在同一直線上，
設M點坐標為（x，y），
∵MB=MC，
∴（x+$\frac{3}{2}$）2+y2=y2+（x-$\frac{3}{2}$）2=3，
解得x=0，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△ABC的外接圓的圓心M（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵D（-$\frac{1}{2}$，0）
∴|AD|max=|MD|+R=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$，
故答案為：1+$\sqrt{3}$

點評 本題考查了正弦定理和圓的方程的應用，屬于中檔題

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