Question

已知△ABC的面積S滿足，且•=6，與的夾角為α．
（1）求α的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值時的α．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積的定義及三角形的面積公式，求出tanα的范圍，從而求出α的取值范圍．
（2）由二倍角的三角函數(shù)公式及同角三角函數(shù)的基本關系，把f（α）化為2+sin（2α+），由α的范圍得到2α+的范圍，進而得到2+sin（2α+）的最小值．
解答：解：（1）由題意知 •=6=||•||cosα  ①，
S=||•||sin（π-α）=||•||sinα  ②，
由②÷①得 =tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3，得3≤3tanα≤3，即 1≤tanα≤，
又α為與的夾角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[，]．
（2）f（α）=sin²α+2sinαcos+3cos²α=1+sin2α+2cos²α?
∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+sin（2α+），
∵α∈〔，〕，∴2α+∈〔，〕，
∴當 2α+=，即α=時，f（α）min=．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的三角公式的應用以及由角的范圍確定三角函數(shù)值的范圍的方法．