Question

已知：函數(shù)f(x)=x-

1

x

，
（1）求：函數(shù)f（x）的定義域；判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)定義域且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用奇函數(shù)的定義可判斷；
（2）判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明按照取值、作差、變形定號(hào)、下結(jié)論步驟即可．

解答：解：（1）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f（-x）=-x-

1

-x

=-x+

1

x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，解題的關(guān)鍵是按照取值、作差、變形定號(hào)、下結(jié)論步驟證明．