Question

15．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF．
（3）求直線DE與AM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出EMAO是平行四邊形，從而EO∥AM，由此能證明AM∥平面BDE．
（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AM⊥平面BDF．
（3）求出$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AM}$，利用向量法能求出直線DE與AM所成角的余弦值．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，
∴ACEF是矩形，M線段EF中點(diǎn)，
∴EM$\underset{∥}{=}$AO，∴EMAO是平行四邊形，
∴EO∥AM，
∵AM?平面BDE，EO?平面BCE，
∴AM∥平面BDE．
（2）∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，∴EC⊥平面ABCD，
以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），M（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），B（0，$\sqrt{2}$，0），
D（$\sqrt{2}，0，0$），F(xiàn)（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{DB}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{DF}$=0-1+1=0，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{DB}$=1-1+0=0，
∴AM⊥DF，AM⊥DB，
∵DF∩DB=D，∴AM⊥平面BDF．
解：（3）E（0，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
設(shè)直線DE與AM所成角的余弦值為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線DE與AM所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．