Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，平面內(nèi)一點(diǎn)P（2，1），M是指圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓右焦點(diǎn)．
（1）求|MP|+

5

4

|MF|的最小值；
（2）F₁為左焦點(diǎn)，M是橢圓上任意一點(diǎn)，求|

MP

|+|

MF1

|的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用橢圓的第二定義，把|MF|轉(zhuǎn)化到右準(zhǔn)線的距離，利用“兩點(diǎn)間的距離最短”和條件，求出最小值；
（2）連結(jié)MF₁，作過(guò)P、F的直線交橢圓于M₁、M₂兩點(diǎn)．根據(jù)橢圓的定義算出|

MP

|+|

MF1

|=MP|+（2a-|MF|）=10+（|MP|-|MF|），由平面幾何知識(shí)得-|PF|≤|MP|-|MF|≤|PF|，再利用兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算，可得|

MP

|+|

MF1

|的最值．

解答： 解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的a=5，b=3，則c=4，右準(zhǔn)線l：x=

25

4

，
離心率為e=

4

5

，由題意的第二定義，可知e=

|MF|

|MK|

，
則有|MP|+

5

4

|MF|=|MP|+|MK|，
顯然當(dāng)M，P，K共線時(shí)，|MP|+|MK|最小，
過(guò)M作MD垂直于直線l，垂足為D，則最小值為：

25

4

-2=

17

4

，
即有|MP|+

5

4

|MF|的最小值為

17

4

；
（2）∵|MF₁|+|MF|=2a=10，
∴|MF₁|=10-|MF|，
則|

MP

|+|

MF1

|=10-|MF|+|MP|=6+（|MP|-|MF|），
當(dāng)點(diǎn)M位于M₁時(shí)，|MP|-|MF|的差最小，其值為-|PF|=-

5

此時(shí)，|

MP

|+|

MF1

|也得到最小值，其值為10-

5

；
當(dāng)點(diǎn)M位于M₂時(shí)，|MP|-|MF|的差最大，其值為|PF|=

5

此時(shí)|

MP

|+|

MF1

|也得到最大值，其值為10+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是橢圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，求橢圓上動(dòng)點(diǎn)M到P、F兩點(diǎn)的距離和的最小值．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．