Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出導函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值，則f'（1）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（II）先求出a的范圍，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞增，則f_max（x）=f（a），當時，f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，f_max（x）=f（），當，即時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞減，則f_max（x）=f（a²），從而求出所求．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，∴函數(shù)的定義域為（0，+∞）．            …（1分）
∴．     …（3分）
∵f（x）在x=1處取得極值，
即f'（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1．                                                         …（5分）
當a=-1時，在內(nèi)f'（x）＜0，在（1，+∞）內(nèi)f'（x）＞0，
∴x=1是函數(shù)y=f（x）的極小值點．∴a=-1．                      …（6分）
（Ⅱ）∵a²＜a，∴0＜a＜1．                                             …（7分）
∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，…（9分）
①當時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（a）=lna-a³+a²-2a；                               …（10分）
②當，即時，f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴；                    …（11分）
③當，即時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞減，
∴f_max（x）=f（a²）=2lna-a⁵+a³-2a²．                            …（12分）
綜上所述，當時，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
當時，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是；
當時，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．
…（13分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是一道綜合題，有一定的難度，屬于中檔題．