Question

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）=a^x+b•a^-x（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log

1

2

x2)對(duì)任意x∈[2，4]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（-x）=f（x），化簡(jiǎn)可得（b-1）（a^x-a^-x）=0，由此解得 b的值．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂，化簡(jiǎn)f（x₁）-f（x₂）為 (ax1-ax2)(

ax1+x2-1

ax1+x2

)，當(dāng)a＞1時(shí)，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．當(dāng)a＜1時(shí)，可得
f（x₁）＜f（x₂），f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
（3）條件等價(jià)于-(log2x)2+log2x-1≤m-2log2x≤(log2x)2-log2x+1對(duì)任意x∈[2，4]恒成立．令t=log₂x，等價(jià)于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1對(duì)任意t∈[1，2]恒成立，求得-t²+3t-1在[1，2]上的最大值和 t²+t+1在[1，2]上的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得，f（-x）=f（x），可得 a^-x+b•a^x =a^x+b•a^-x ，∴（b-1）（a^x-a^-x）=0，解得 b=1．…（3分）
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂，∵f(x1)-f(x2)=(ax1+a-x1)-(ax2+a-x2)=(ax1-ax2)+(a-x1-a-x2)
=(ax1-ax2)+

ax2-ax1

ax1+x2

=(ax1-ax2)(

ax1+x2-1

ax1+x2

)，
當(dāng)a＞1時(shí)，ax1-ax2＜0，ax1+x2＞1，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
當(dāng)a＜1時(shí)，ax1-ax2＞0，ax1+x2＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
綜上可得，當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．…（7分）
（3）f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log

1

2

x2)對(duì)任意x∈[2，4]恒成立，等價(jià)于f((log2x)2-log2x+1)≥f(m-2log2x) 對(duì)任意x∈[2，4]恒成立，
等價(jià)于 |(log2x)2-log2x+1|≥|m-2log2x| 對(duì)任意x∈[2，4]恒成立，
等價(jià)于-(log2x)2+log2x-1≤m-2log2x≤(log2x)2-log2x+1對(duì)任意x∈[2，4]恒成立．
令t=log₂x，問(wèn)題等價(jià)于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1對(duì)任意t∈[1，2]恒成立．
由于函數(shù)-t²+3t-1在[1，2]上的最大值為

5

4

，t²+t+1在[1，2]上的最小值為 3，
故問(wèn)題等價(jià)于

5

4

≤m≤3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[

5

4

，3]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．