Question

對于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列{a_n}，記b_k=max{a₁，a₂，a₃，…，a_k}（k=1，2，3，…，m），即b_k為a₁，a₂，a₃，…，a_k中的最大值，則稱{b_n}是{a_n}的“控制數(shù)列”，{b_n}各項(xiàng)中不同數(shù)值的個(gè)數(shù)稱為{a_n}的“控制階數(shù)”．
（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}的控制數(shù)列{b_n}為1，3，3，5，寫出所有的{a_n}；
（Ⅱ）若m=100，a_n=tn²-n，其中t∈(

1

4

，

1

2

)，{b_n}是{a_n}的控制數(shù)列，試用t表示（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+（b₃-a₃）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）的值；
（Ⅲ）在1，2，3，4，5的所有全排列中，將每種排列視為一個(gè)數(shù)列，對于其中控制階數(shù)為2的所有數(shù)列，求它們的首項(xiàng)之和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}的控制數(shù)列{b_n}為1，3，3，5，可得{a_n}；
（Ⅱ）確定當(dāng)n≥2時(shí)，總有a_n+1＞a_n，n≥3時(shí)，總有b_n=a_n．從而只需比較a₁和a₂的大小，即可得出結(jié)論．
（Ⅲ）確定首項(xiàng)為1、2、3、4的數(shù)列的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）1，3，1，5； 1，3，2，5；1，3，3，5…．（3分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="agpdp9d" class="MathJye">an=tn2-n，t∈(

1

4

，

1

2

)
所以

1

2t

∈(1，2)．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，總有a_n+1＞a_n．
又a₁=t-1，a₃=9t-3．
所以a₃-a₁=8t-2＞0．
故n≥3時(shí)，總有b_n=a_n．
從而只需比較a₁和a₂的大�。�
（1）當(dāng)a₁≤a₂，即t-1≤4t-2，即t∈[

1

3

，

1

2

)時(shí)，{a_n}是遞增數(shù)列，此時(shí)b_n=a_n對一切n=1，2，3，…100均成立．
所以（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+（b₃-a₃）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=0．
（2）當(dāng)a₁＞a₂時(shí)，即t-1＞4t-2，即t∈(

1

4

，

1

3

)時(shí)，b₁=a₁，b₂=a₁，b_n=a_n（n≥3）．
所以（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+（b₃-a₃）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=0+[（t-1）-（4t-2）]+0+…+0=1-3t．
綜上，原式=

1-3t，t∈( 1 4 ， 1 3 ) 0  &，t∈[ 1 3 ， 1 2 )  &.

…．（9分）
（Ⅲ）154．
首項(xiàng)為1的數(shù)列有6個(gè)；
首項(xiàng)為2的數(shù)列有6+2=8個(gè)；
首項(xiàng)為3的數(shù)列有6+4+2=12個(gè)；
首項(xiàng)為4的數(shù)列有6+6+6+6=24個(gè)；
所以，控制階數(shù)為2的所有數(shù)列首項(xiàng)之和6+8×2+12×3+24×4=154．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查分析，對抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，對（3）觀察，分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題．