Question

在斜四棱柱中，已知底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，且點(diǎn)在面上的射影是底面對(duì)角線與AC的交點(diǎn)O，設(shè)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，．         

   （Ⅰ） 求證：四邊形是矩形；

   （Ⅱ） 求二面角的大�。�

   （Ⅲ） 求四面體的體積．

Answer 1

（1）證明略（2）二面角E─BD─C的大小為（3）

解析:

解法一：（Ⅰ） 連接． 因?yàn)樗倪呅?img width=42 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/30/254230.gif" >為菱形，

所以,又面，

所以． 而，所以．

因?yàn)樗倪呅?img width=52 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/37/254237.gif" >是平行四邊形，所以四邊形是矩形．   4分

   （Ⅱ） 連接OE，因?yàn)?img width=120 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/39/254239.gif" >,所以平面，

∴ ,即為二面角E──C的平面角．

在菱形中，

又E是的中點(diǎn)，．所以．

在△中，,

∴ ，,

所以在△中，有，即二面角E─BD─C的大小為．  9分

   （Ⅲ） 設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為h，則有．

因?yàn)?img width=16 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/60/254260.gif" >是的中點(diǎn)，所以

  14分

解法二：（Ⅰ） 連結(jié)AC、BD相交于O，連結(jié)．

由已知，有AC⊥BD，⊥面ABCD，故可建立空間直角坐標(biāo)系，

且以下各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

，  1分

設(shè),

，

 ． 3分

又, 四邊形為平行四邊形．

是矩形． 4分

   （Ⅱ） 設(shè),則．

， 由 可求得          

∴．

設(shè)為平面EBD的法向量，

則由，得

可取 ,

 ．     6分

平面平面BDC的法向量為，

而 ． 

∴ 二面角E─BD─C的大小為． 9分

   （Ⅲ） 設(shè)為平面的法向量，

則由 ,

得          

∴ 可取，．

到平面的距離 ．  11分

而，又由（Ⅰ）知， ，