Question

設(shè)f（x）=ln²x-1，g（x）=x²-2x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，比較f（x）與g（x）的大�。�

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的定義域及導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值．
（2）作出差f（x）-g（x），將差變形為=（lnx-x+1）（lnx+x-1）判斷出lnx+x-1＞0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-x+1，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷出h（x）的單調(diào)性求出h（x）＜h（1）=0，從而比較出f（x）與g（x）的大�。�

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
因?yàn)?span id="vaoxbig" class="MathJye">f′(x)=

2lnx

x

由f'（x）=0得x=1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＞0
∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞），
f（x）的極小值為f（1）=-1
（2）由f（x）-g（x）=ln²x-1-x²+2x=ln²x-（x-1）²=（lnx-x+1）（lnx+x-1）
∵x＞1
∴l(xiāng)nx+x-1＞0
令h（x）=lnx-x+1
則h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

當(dāng)x＞1時(shí)h'（x）＜0
∴h'（x）在（1，+∞）是遞減的
∴h（x）＜h（1）=0
即  lnx-x+1＜0
∴f（x）-g（x）＜0
從而f（x）＜g（x）

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，導(dǎo)函數(shù)大于0函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0，函數(shù)遞減，是一道中檔題．