Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且a_n+1=1-$\frac{S_n}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若{S_n+λ（n+$\frac{1}{2^n}$）}為等差數(shù)列，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意，可得S_n=2-2a_n+1，①
當n≥2時，S_n-1=2-2a_n，②…（1 分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n+1，…（3 分）
故$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$（n≥2）．…（4 分）
因為a₁=1，${a_2}=1-\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，…（5 分）
所以{a_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，故${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．…（6 分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${S_n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．…（8 分）
由$\{{S_n}+λ（n+\frac{1}{2^n}）\}$為等差數(shù)列，
則${S_1}+λ（1+\frac{1}{2}）$，${S_2}+λ（2+\frac{1}{4}）$，${S_3}+λ（3+\frac{1}{8}）$成等差數(shù)列．…（10分）
即$2（{S_2}+\frac{9λ}{4}）={S_1}+\frac{3λ}{2}+{S_3}+\frac{25λ}{8}$，
故$2（\frac{3}{2}+\frac{9λ}{4}）=1+\frac{3λ}{2}+\frac{7}{4}+\frac{25λ}{8}$，…（12分）
解得λ=2．…（13分）

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．