Question

三棱錐P-ABC中△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分別為AB、PB的中點．
（1）求證AC⊥PD；
（2）求二面角E-AC-B的正切值．
（3）求三棱錐P-CDE與三棱錐P-ABC的體積之比．

Answer 1

分析：（1）取AC中點O，連OD證明AC⊥面POD即可由線面垂直證明出AC⊥PD；
（2）求二面角需先作出它的平面角，由圖知連OB，過E作EF⊥OB于F，過F作FG⊥AC，連EG，知EG⊥AC，∠EGF為二面角E-AC-B的平面角，求出其正切值；
（3）由圖形將三棱錐P-CDE的體積用V_D-PCE，表示出來，將問題轉化為求V_D-PCE與三棱錐P-ABC的體積之比，研究兩個幾何體的高與底面即可得出它們的比值

解答：解：（1）證：取AC中點O，PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC∴PO⊥面ABC，連OD，則OD⊆面PBC，則DO⊥AC，∴AC⊥面POD，AC⊥PD…（3分）
（2）解：連OB，過E作EF⊥OB于F
Q面POB⊥面ABC∴EF⊥面ABC  過F作FG⊥AC
連EG知EG⊥AC∠EGF為二面角E-AC-B的平面角
在VPOB中，EFP=

1

2

PO=

3

在VOBC中，F(xiàn)GP=

1

2

BC=2tan∠EGF=

3

2

…（8分）
（3）解：V_P-CDE=V_D-PCE，E為PB中點
∴SVPCE=

1

2

SVPBC，VD-PCE=

1

2

VD-PBC=

1

2

VP-DBC=

1

4

VP-ABC
即

VP-CDE

VP-ABC

=

1

4

…（13分）

點評：本題考查二面角的求法，解題關鍵是作出二面角的平面角，在三角形中求出二面角的大小，注意二面角的作法規(guī)則，在求二面角時，常因為作出二面角后沒有證明它就是二面角的平面角而造成推掉步驟分，作此類題時要謹記．本題中也涉及到了線線垂直與求棱錐體積的方法，求棱錐的體積時要注意變換頂點，換個角度求體積．