Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對(duì)任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（不要求計(jì)算過(guò)程），求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

（1）證明：∵a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∴a_n+2-a_n=-（a_n+1-a_n）
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=-b_n，
∵b₁=a₂-a₁，a₁=1，a₂=2，
∴b₁=1，∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為-的等比數(shù)列，
∴b_n=；
（2）解：∵a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+b₁+…+b_n-1=1+=
由（1），b_n=a_n+1-a_n=
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+1-a_n＜0，∴a_n+1＜a_n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，
于是可得數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)必在數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中產(chǎn)生
∵a_2n+2-a_2n=×＜0
∴a_2n+2＜a_2n，
∴數(shù)列{a_2n}為單調(diào)遞減數(shù)列
∴數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)為=2．
分析：（1）根據(jù)a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項(xiàng)，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，整理可得a_n+2-a_n=-（a_n+1-a_n），利用b_n=a_n+1-a_n，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為-的等比數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式；
（2）利用疊加法可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，由（1），b_n=a_n+1-a_n=，可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+1＜a_n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+1＞a_n，于是可得數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)必在數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中產(chǎn)生，確定數(shù)列{a_2n}為單調(diào)遞減數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，正確確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．