Question

已知函數(shù)y=a^x的圖象經(jīng)過平面區(qū)域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

（1）求a取值范圍的集合為A；
（2）已知“命題p：?x∈A，使x²+bx+16＞0”，寫出￢p，若命題p為真命題，求出b取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意函數(shù)y=a^x的圖象經(jīng)過平面區(qū)域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

，畫出可行域，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)“命題p：?x∈A，使x²+bx+16＞0”，直接寫出其否命題，知命題p為真命題，可以等價(jià)于x²+bx+16＞0在2≤x≤6上有解，然后再利用常數(shù)分離法進(jìn)行求出b的范圍；

解答：解（1）∵函數(shù)y=a^x的圖象經(jīng)過平面區(qū)域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

畫對(duì)可行域：

A（2，4），B（1，6）
   由圖象可知當(dāng)y=ax經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，a值最小，經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，a值最大，
∴2≤a≤6
∴A={a|2≤a≤6}
（2）?p：?x∈A，使x²+bx+16≤0
命題p：?x∈A，使x²+bx+16＞0為真命題
等價(jià)于x²+bx+16＞0在2≤x≤6上有解       
等價(jià)于 -b＜x+

16

x

在2≤x≤6上有解，
只要x+

16

x

在[2，6]上的最小值大于-b即可，
∵x+

16

x

≥2

16

=8（當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立），又f（x）=x+

16

x

，其中f（2）=10，f（6）=6+

8

3

＜10，
∴10≥x+

16

x

≥8，要使 -b＜x+

16

x

在2≤x≤6上有解，
∴-b＜10即b＞-10；

點(diǎn)評(píng)：第一問比較簡單，利用數(shù)形結(jié)合的方法畫出草圖，就可求解，第二問比較麻煩，用到了常數(shù)分離法，本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，是一道綜合題；