Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，拋物線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B和一個(gè)定點(diǎn)M（2，y₀），F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是4，求拋物線方程．

Answer 1

分析：由題意可知拋物線的開口向右故可設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），由拋物線的定義可知，AF=xA+

p

2

，BF=xB+

p

2

，MF=2+

p

2

，結(jié)合AF，MF，BF成等差數(shù)列可得AF+BF=2MF，可求AB的橫坐標(biāo)的關(guān)系，由中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是4可求p，進(jìn)而可求拋物線的方程

解答：解：由拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，拋物線上有一個(gè)定點(diǎn)M（2，y₀）可知拋物線的開口向右
故可設(shè)拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），拋物線的準(zhǔn)線x=-

p

2

由拋物線的定義可知，AF=xA+

p

2

，BF=xB+

p

2

，MF=2+

p

2

∵AF，MF，BF成等差數(shù)列可得AF+BF=2MF即xA+xB+p=2(2+

p

2

)
∴x_A+x_B=4
由AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是4可得，

xA+xB

2

+

p

2

=4
∴p=4，拋物線的方程為：y²=8x

點(diǎn)評：本題主要考查了利用拋物線的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)求解拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知拋物線上的一點(diǎn)判斷出拋物線的開口方向．