Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=2ax²+2bx，若存在實數(shù)x₀∈（0，t），使得對任意不為零的實數(shù)a，b均有f（x₀）=a+b成立，則t的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 對任意不為零的實數(shù)a，b均有f（x₀）=a+b成立等價于（2x-1）b=（1-2x²）a，分x=$\frac{1}{2}$或x≠$\frac{1}{2}$兩種情況討論，即可求出t的范圍．

解答 解：f（x）=a+b成立等價于（2x-1）b=（1-2x²）a，
當x=$\frac{1}{2}$時，左邊=0，右邊≠0，不成立，
當x≠$\frac{1}{2}$時，（2x-1）b=（1-2x²）a等價于$\frac{a}$=$\frac{1-2{x}^{2}}{2x-1}$，
設(shè)k=2x-1，則x=$\frac{k+1}{2}$，
則$\frac{a}$=$\frac{1-\frac{（k+1）^{2}}{2}}{k}$=$\frac{-{k}^{2}-2k+1}{2k}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k-2），
∵x∈（0，t），（t＜$\frac{1}{2}$），或x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，t），（t＞$\frac{1}{2}$），
∴k∈（-1，2t-1），（t＜$\frac{1}{2}$），或k∈（-1，0）∪（0，2t-1），（t＞$\frac{1}{2}$），（*）
∵?a，b∈R，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k-2），在（*）上有解，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k-2），在（*）上的值域為R，
設(shè)g（k）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k）-1，則g（k）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞\frac{1}{2}}\\{2t-1＞1}\end{array}\right.$，
解得t＞1，
故答案為：（1，+∞）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于難題．