Question

函數(shù)f（x）=x²-4x-4在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t）．
（1）試寫出g（t）的函數(shù)表達(dá)式．
（2）作出g（t）的圖象并求出g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=x²-4x-4 的對稱軸為 x=2，分對稱軸在閉區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值，可得g（t）的解析式．
（2）作出g（t）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，g（t）的最小值．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=x²-4x-4 的對稱軸為 x=2，
當(dāng)2＜t時(shí)，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的最小值g（t）=ft）=t²-4t-4．
當(dāng)t≤2≤t+1，即 1≤t≤2時(shí)，
函數(shù)的最小值g（t）=f2）=-8．
當(dāng)t+1＜2，即t＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
故函數(shù)的最小值g（t）=ft+1）=t²-2t-7．
綜上可得，g（t）=

t2-4t-4 ， t＞2 -8  ，1≤t≤2 t2-2t-7  ，t＜1

．
（2）作出g（t）的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得，g（t）的最小值為-8．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的圖象的作法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．