Question

函數(shù)f（x）=3sin

π

2

x-log₂x-

1

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：將條件變?yōu)椋?span id="kqek24q" class="MathJye">3sin

π

2

x=lo

g

x 2

+

1

2

，設(shè)h（x）=3sin

π

2

x和g（x）=lo

g

x 2

+

1

2

，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出g（x）和h（x）的圖象，討論h（x）、g（x）的單調(diào)性與最值，得它們有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，由此可得原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：由f(x)=3sin

π

2

x-lo

g

x 2

-

1

2

=0得，3sin

π

2

x=lo

g

x 2

+

1

2

，
設(shè)h（x）=3sin

π

2

x，g（x）=lo

g

x 2

+

1

2

，
則所求的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為：函數(shù)h（x）和g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出g（x）和h（x）的圖象：
函數(shù)g（x）的圖象是y=log₂x的圖象向上平移

1

2

單位，所以圖象為經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

2

，0），
而h（x）=3sin

π

2

x的周期為4，在原點(diǎn)的右側(cè)它的第一個(gè)最大值點(diǎn)為x=1，對(duì)應(yīng)圖中A（1，3），第二個(gè)最大值點(diǎn)為x=5，對(duì)應(yīng)圖中B（5，3），
∵log₂5＜3，
∴曲線g（x）=log₂x經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的下方，在B的左右各有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)x≤8時(shí)，log₂x≤3，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)；
而當(dāng)x＞8時(shí)，h（x）=3sin

π

2

x≤3＜g（x）=log₂x-

1

2

，兩圖象不可能有交點(diǎn)
∴h（x）=3sin

π

2

x與g（x）=log₂x-

1

2

的圖象有且僅有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
得函數(shù)f(x)=3sin

π

2

x-lo

g

x 2

-

1

2

的零點(diǎn)有3個(gè)
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有三角函數(shù)和對(duì)數(shù)的函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、最值，數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵是正確作圖．