Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，．
（I）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（II）求證：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0，可以求出函數(shù)g（x）的定義域，若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，則g′（x）≥0在其定義域內(nèi)為恒成立，由此構(gòu)造關(guān)于p的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（II）令h（x）=ln（1+x）-x，利用導(dǎo)數(shù)法，我們易求出函數(shù)的最小值，比照后進(jìn)而得到f（1+x）≤x（x＞-1）恒成立；
（III）由（II）得，當(dāng)時(shí)，則，累加后，整理可得．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）
（1分）
則函數(shù)f（x）的定義域也為（0，+∞）
若
∵∴
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
（5分）
令h'（x）=0⇒x=0

x	（-1，0）	（6分） （0，+∞）
h'（x）	+	-

∴x=0時(shí)，h（x）=h（0）=0
∴x＞-1時(shí)，h（x）≤0⇒ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令，則（10分）
=ln（n+1）（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中在使用導(dǎo)數(shù)法時(shí)，最關(guān)鍵的問(wèn)題是根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式．