Question

已知拋物線y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，當n=1，2，3，…時，該拋物線在x軸上所截得的線段長依次組成數(shù)列{a_n}，其頂點的縱坐標依次組成數(shù)列{b_n}，求

lim

n→∞

[(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)]．

Answer 1

分析：先設(shè)拋物線在x軸上的兩個交點分別為：A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x₁+x₂，x₁•x₂，從而a_n和bn，利用拆項法求和a₁+…+a_n，b₁+…+b_n最后求出和的極限即可．

解答：解：設(shè)拋物線在x軸上的兩個交點分別為：A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的兩個根，
x₁+x₂=

2n+1

n(n+1)

，x₁•x₂=

1

n(n+1)

a_n=|x₁-x₂|=

(x 1 +x     2 ) 2-4x 1x 2

=

(  2n+1 n(n+1) ) 2-4 1 n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
bn=

4n(n+1)-(2n+1) 2

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
a₁+…+a_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

b₁+…+b_n=

1

4

（1-

1

n+1

）
∴

lim

n→∞

[(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)]=lim

3

4

（1-

1

n+1

）=

3

4

．

點評：本小題主要考查數(shù)列與解析幾何的綜合、拋物線的圖象與性質(zhì)、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．