Question

平面直角坐標系有兩點P（1，cosx），Q（cosx，1），其中x∈[-

π

4

，

π

4

]；
（1）求向量

OP

和

OQ

的夾角θ的余弦用x表示的函數(shù)f（x）；
（2）求題（1）中f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）由已知求出向量

OP

和

OQ

的坐標，代入cosθ=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

求出f（x）；
（2）由（1）可求得f(x)=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

由x的范圍可求cosθ的范圍，結合函數(shù)的單調(diào)性即可求cosθ的最小值．

解答： 解：（1）由于

OP

•

OQ

=2cosx…（2分）
|

OP

|•|

OQ

|=1+cos2x…（4分）
∴cosθ=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

=

2cosx

1+cos2x

=f(x)…（6分）
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴cosx∈[

2

2

，1]
f(x)=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

令g(x)=x+

1

x

…（8分）
設x₁，x2∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(

x1x2-1

x1x2

)＜0
∴g(x)=x+

1

x

在[

2

2

，1]上是減函數(shù)．        …（10分）
∴2≤cosx+

1

cosx

≤

3 2

2

2 2

3

≤f(x)≤1
即f（x）的值域是[

2 2

3

，1]．            …（12分）

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質的坐標表示，向量與 三角函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性等知識的綜合應用．