Question

已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上．小明從曲線C₁、C₂上各取若干個點(diǎn)（每條曲線上至少取兩個點(diǎn)），并記錄其坐標(biāo)（x，y．由于記錄失誤，使得其中恰有一個點(diǎn)既不在橢圓C₁上，也不在拋物線C₂上，小明的記錄如下：

x	-2	- 2	0	2	2 2	3
y	2	0	6	-2 2	2	-2 3

據(jù)此，可推斷拋物線C₂的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可知：點(diǎn)（0，

6

）是橢圓C₁的短軸的一個端點(diǎn)，再假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=2px或y²=-2px驗(yàn)證即可．

解答： 解：由題意可知：點(diǎn)（0，

6

）是橢圓C₁的短軸的一個端點(diǎn)，則C₁可以寫成

x2

a2

+

y2

6

=1，經(jīng)驗(yàn)證可得：若點(diǎn)（2

2

，

2

）在C₁上，代入求得a²=12，即

x2

12

+

y2

16

=1，剩下的4個點(diǎn)中（-2，2）也在此橢圓上．
假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=2px，把點(diǎn)（2，-2

2

）代入求得p=2，∴y²=4x，則點(diǎn)（3，-2

3

），則只剩下一個點(diǎn)（-

2

，0）既不在橢圓上，也不在拋物線上，滿足條件．
假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=-2px，經(jīng)驗(yàn)證不符合題意．
故答案為：y²=4x．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．