Question

已知空間直角坐標系O-xyz中的點A（1，1，1），平面α過點A且與直線OA垂直，動點P（x，y，z）是平面α內的任一點．
（1）求點P的坐標滿足的條件；
（2）求平面α與坐標平面圍成的幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）通過平面α過點A且與直線OA垂直，利用勾股定理即可求點P的坐標滿足的條件；
（2）求出平面α與坐標軸的交點坐標，即可利用棱錐的體積公式求出所求幾何體體積．

解答：解：（1）因為OA⊥α，所以OA⊥AP，
由勾股定理可得：|OA|²+|AP|²=|OP|²，
即3+（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²=x²+y²+z²，化簡得：x+y+z=3．
（2）設平面α與x軸、y軸、z軸的點分別為M、N、H，
則M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．
所以|MN|=|NH|=|MH|=3

2

，
所以等邊三角形MNH的面積為：

3

4

×(3

2

)2=

9 3

2

．
又|OA|=

3

，故三棱錐0-MNH的體積為：

1

3

×

9 3

2

×

3

=

9

2

．

點評：本題考查空間想象能力，計算能力，轉化思想，空間兩點距離公式的應用．