Question

設函數(shù)f（x）=lg（x+

x2+1

）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在其定義域上是單調增函數(shù)；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先判斷再用定義證明，證明時應先求出定義域并判斷是否關于原點對稱，再驗證f（x）和f（-x）的關系，再由奇函數(shù)的定義得出結論；
（2）用定義證明函數(shù)單調性的五個步驟，本題是對真數(shù)作差比較大小，利用分子有理化進行變形在判斷真數(shù)的大小，在轉化到比較函數(shù)值得大小．

解答：解：（1）它是奇函數(shù)．
由

x+ x2+1 ＞0 x2+1≥0

得x∈R，
即所給函數(shù)的定義域為R，顯然它關于原點對稱，
又∵f(-x)=lg(-x+

x2+1

)=lg(x+

x2+1

)-1=-lg(x+

x2+1

)=-f(x)
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=lg

x1+ x12+1

x2+ x22+1

．
令t=x+

x2+1

，則t₁-t₂=（x₁+

x12+1

）-（x₂+

x22+1

）
=（x₁-x₂）+（

x12+1

-

x22+1

）=（x₁-x₂）+

(x1-x2)(x1+x2)

x12+1 + x22+1

．

=

(x1-x2)( x12+1 + x22+1 +x1+x2)

x12+1 + x22+1

∵x₁-x₂＜0，

x12+1

+x₁＞0，

x22+1

+x₂，

x12+1

+

x22+1

＞0，
∴t₁-t₂＜0，∴0＜t₁＜t₂，∴0＜

t1

t2

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調性的證明，即用定義法進行證明，注意證明奇偶性時應先判斷定義域關于原點對稱；證明單調性的步驟即設值、作差、變形、判斷符號、下結論，對于有關對數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)時可轉化為比較真數(shù)的大�。�