【選修4-5:不等式選講】
(1)已知x、y都是正實(shí)數(shù),求證:x3+y3≥x2y+xy2;
(2)設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)a、b滿足a3-b3=a2-b2,求a+b的取值范圍.
分析:(1)作差(x3+y3)-(x2y+xy2)后化積,利用綜合法對(duì)乘積的符號(hào)進(jìn)行判斷,即可證得結(jié)論成立;
(2)從已知a3-b3=a2-b2出發(fā),利用a>0,b>0,a≠b,結(jié)合基本不等式可求得3(a+b)2-4(a+b)<0,從而可求a+b的取值范圍.
解答:(1)證明:∵(x3+y3)-(x2y+xy2
=x2(x-y)+y2(y-x)
=(x-y)(x2-y2
=(x-y)2(x+y)
又x、y都是正實(shí)數(shù),
∴(x-y)2≥0、x+y>0,即(x3+y3)-(x2y+xy2)≥0
∴x3+y3≥x2y+xy2;
(2)∵a3-b3=a2-b2,
∴(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b),
又a≠b,故a-b≠0,
∴a2+ab+b2=a+b,
即(a+b)2-ab=a+b,又a>0,b>0,a≠b,
∴ab=(a+b)2-(a+b)<(
a+b
2
)
2

∴3(a+b)2-4(a+b)<0,
∴0<a+b<
4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查綜合法證明不等式,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與基本不等式的應(yīng)用,考查推理與證明能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選修4-5:不等式選講】
求下列不等式的解集
(Ⅰ)|2x-1|-|x+3|>0
(Ⅱ)x+|2x-1|>3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選修4-5:不等式選講】
已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)當(dāng)m=2時(shí),解關(guān)于x的不等式g(x)≥0;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選修4-5:不等式選講】
已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=1.
(Ⅰ)求x+2y+2z的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式|a-3|+
a2
≥x+2y+2z
對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y,z恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選修4-5、不等式選講】
關(guān)于x的不等式lg(|x+3|-|x-7|)<m.
(Ⅰ)當(dāng)m=1時(shí),解此不等式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=lg(|x+3|-|x-7|),當(dāng)m為何值時(shí),f(x)<m恒成立?

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