Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”．已知當x＞2時，點P（x，0）存在無窮多條“相關(guān)弦”．給定x＞2．
（I）證明：點P（x，0）的所有“相關(guān)弦”中的中點的橫坐標相同；
（II）試問：點P（x，0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x表示）：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設AB為點P（x，0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），代入拋物線方程相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m，y_m），則可表示出AB的斜率，進而可表示出AB的垂直平分線l的方程，把點P（x，0）代入求得x_m=x-2．答案可得．
（2）由（Ⅰ）知，弦AB所在直線的方程與拋物線方程聯(lián)立求得x₁•x₂的值，設點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l則根據(jù)l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=整理得l關(guān)于x的函數(shù)，進而根據(jù)x的范圍求得答案．
解答：解：（I）設AB為點P（x，0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標分別是
（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），則y²₁=4x₁，y²₂=4x₂，
兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因為x₁≠x₂，所以y₁+y₂≠0、
設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m，y_m），則
k=．從而AB的垂直平分線l的方程為
又點P（x，0）在直線l上，所以
而y_m≠0，于是x_m=x-2．故點P（x，0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標都是x-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直線的方程是y-y_m=k（x-x_m），代入y²=4x中，
整理得k²x²+2[k（y_m-kx_m）-2]x+（y_m-kx_m）²=0．（•）
則x₁、x₂是方程的兩個實根，且
設點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4（1+k²）（x_m²-x₁x₂）
=
=（4+y_m²）（4x_m-y_m²）=-y_m⁴+4y_m²（x_m-1）+16x_m
=4（x_m+1）²-[y_m²-2（x_m-1）]²=4（x-1）²-[y_m²-2（x-3）]²．
因為0＜y_m²＜4x_m=4（x_m-2）=4x-8，于是設t=y_m²，則t∈（0，4x-8）．
記l²=g（t）=-[t-2（x-3）]²+4（x-1）²．
若x＞3，則2（x-3）∈（0，4x-8），所以當t=2（x-3），即y_m²=2（x-3）時，
l有最大值2（x-1）．
若2＜x＜3，則2（x-3）≤0，g（t）在區(qū)間（0，4x-8）上是減函數(shù)，
所以0＜l²＜16（x-2），l不存在最大值．
綜上所述，當x＞3時，點P（x，0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值
為2（x-1）；當2＜x≤3時，點P（x，0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值．
點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生綜合分析問題和運算能力．