Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a、b為常數(shù)且a≠0）滿足條件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈R）的最大值為u（t），求u（t）解析式．

Answer 1

分析：（1）先由f（-x+5）=f（x-3）得函數(shù)對稱軸，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判別式等于零，最后解方程即可
（2）根據(jù)對稱軸與區(qū)間[t，t+1]的相對位置關系和函數(shù)的單調(diào)性，分別討論函數(shù)的最值，最后寫成分段函數(shù)形式即可

解答：解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴函數(shù)的對稱軸為x=1，即-

b

2a

=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）∵f(x)=-

1

2

x2+x的開口向下，對稱軸為x=1
∴當t≥1時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上為減函數(shù)，最大值為u（t）=f（t）=-

1

2

t²+t
當0＜t＜1時，函數(shù)f（x）最大值為u（t）=f（1）=

1

2

當t≤0時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上為增函數(shù)，最大值為u（t）=f（t+1）=-

1

2

t²+

1

2

∴u(t)=

- 1 2 t2+t        (t≥ 1) 1 2 - 1 2 t2+ 1 2     (t≤ 0)

(0＜t＜1)

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)在軸定區(qū)間動狀態(tài)下的最值求法，解題時要熟練掌握二次函數(shù)的圖象特征，準確分類討論．