Question

已知函數(shù)f（x）=|4x-x²|（x∈R），對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)t∈（0，b]，定義：函數(shù)f（x）在[0，t]上的最小值為N（t），函數(shù)f（x）在[0，t]上的最大值為M（t），現(xiàn)若存在最小正整數(shù)m，使得M（t）-N（t）≤m•t對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t∈（0，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（0，b]的“m階收縮函數(shù)”
（1）當(dāng)t∈（0，1]時(shí)，試寫出N（t），M（t）的表達(dá)式，并判斷函數(shù)f（x）是否為（0，1]上的“m階收縮函數(shù)”，如果是，請(qǐng)寫出對(duì)應(yīng)的m的值；（只寫出相應(yīng)結(jié)論，不要求證明過(guò)程）
（2）若函數(shù)f（x）是（0，b]上的4階收縮函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=|4x-x²|=|-（x-2）²+4|，根據(jù)x∈[0，t]，t∈（0，1]，可得N（t）=0，M（t）=4t-t²，從而可知函數(shù)f（x）為區(qū)間（0，1]的“4階收縮函數(shù)”
（2）函數(shù)f（x）是（0，b]上的4階收縮函數(shù)的意義為：M（t）-N（t）≤4t對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t∈（0，b]成立，同時(shí)存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立．下面進(jìn)行分類討論：①當(dāng)0＜b＜2時(shí)，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t²
成立；②當(dāng)2≤b＜2+2

2

時(shí)，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，b]

成立；③當(dāng)b≥2+2

2

時(shí)，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，2+2 2 ] t2-4t，t∈(2+2 2 ，b]

，0≤t≤8成立，故可求b的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=|4x-x²|=|-（x-2）²+4|，
∵x∈[0，t]，t∈（0，1]，∴N（t）=0，M（t）=4t-t²
∴M（t）-N（t）=4t-t²=4t（1-t）≤4•t對(duì)t∈（0，1]成立，
則函數(shù)f（x）為區(qū)間（0，1]的“4階收縮函數(shù)”
（2）函數(shù)f（x）是（0，b]上的4階收縮函數(shù)的意義為：M（t）-N（t）≤4t對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t∈（0，b]成立，同時(shí)存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
①當(dāng)0＜b＜2時(shí)，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t²
∴M（t）-N（t）=4t-t²=4t（1-t）≤4•t成立，同時(shí)存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
②當(dāng)2≤b＜2+2

2

時(shí)，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，b]

∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t²≤4•t成立
t∈（2，b]，4≤4•t成立，同時(shí)存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t²＞3t成立
③當(dāng)b≥2+2

2

時(shí)，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=

4t-t2，t∈[0，2] 4，t∈(2，2+2 2 ] t2-4t，t∈(2+2 2 ，b]

∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t²≤4•t成立
t∈（2，2+2

2

]，4≤4•t成立，
t∈(2+2

2

，b]，t²-4t≤t，∴0≤t≤8
同時(shí)存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t²＞3t成立
∴0＜b≤8時(shí)，函數(shù)f（x）是（0，b]上的4階收縮函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題是典型的信息題，主要考查對(duì)新定義的理解，以及敘述的規(guī)范性，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用定義，正確進(jìn)行分類．