Question

已知函數(shù)f(x)=

ex+1

ex-1

．
（Ⅰ）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（Ⅱ）討論f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由給出的函數(shù)解析式求出函數(shù)的值域，再由解析式解出x，即把x用含有y的代數(shù)式表示，最后把x和y互換即可；
（Ⅱ）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后直接利用判斷函數(shù)奇偶性的定義，換x為-x整理即可．

解答：解：（Ⅰ）由y=

ex+1

ex-1

，得ye^x-y=e^x+1，
從而ye^x-e^x=y+1，（y-1）e^x=y+1，∴ex=

y+1

y-1

．
由ex=

y+1

y-1

＞0，得y＜-1，或y＞1．
再由ex=

y+1

y-1

，得x=ln

y+1

y-1

(y＜-1，或y＞1)，
∴f-1(x)=ln

x+1

x-1

（x＜-1或x＞1）．
（Ⅱ）f(x)=

ex+1

ex-1

中，∵e^x-1≠0，∴x≠0．∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵f(-x)=

e-x+1

e-x-1

=

(e-x+1)•ex

(e-x-1)•ex

=

1+ex

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，一定不要忘記注函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的奇偶性，前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此題是中檔題．