Question

四棱錐A-BCDE的側(cè)面ABC是等邊三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，BE=1，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）取AC中點(diǎn)M，連接FM、BM，可由中位線定理，線面垂直的性質(zhì)定理，證得四邊形BEFM是平行四邊形，進(jìn)而EF∥BM，再由線面平行的判定定理，得到結(jié)論
（2）取BC中點(diǎn)N，連接AN，可證得AN⊥平面BCDE，由（1）求出底面BCDE的面積S_梯形BCDE，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）取AC中點(diǎn)M，連接FM、BM，
∵F是AD中點(diǎn)，
∴FM∥DC，且FM=

1

2

DC=1，
∵EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EB∥DC，
∴FM∥EB．
又∵EB=1，∴FM=EB，
∴四邊形BEFM是平行四邊形，
∴EF∥BM，
∵EF?平面ABC，BM?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（2）取BC中點(diǎn)N，連接AN，
∵AB=AC，
∴AN=BC，
∵EB⊥平面ABC，
∴AN⊥EB，
∵BC與EB是底面BCDE內(nèi)的相交直線，
∴AN⊥平面BCDE，
由（1）得，底面BCDE為直角梯形，S_梯形BCDE=

?EB+DC?•BC

2

=3，
在等邊△ABC中，BC=2，
∴AN=

3

，
∴V_棱錐A-BCDE=

1

3

S_梯形BCDE•AN=

3

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理是解答的關(guān)鍵．