Question

已知a₁=9，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n=1，2，3，…，設(shè)b_n=lg（1+a_n）．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)C_n=nb_n+1，求數(shù)列{C_n}的前n項和；
（3）設(shè)，求數(shù)列{d_n}的前n項和D_n，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點（a_n，a_n+1）代入函數(shù)f（x）的解析式即可得a_n，a_n+1的關(guān)系式，兩邊取對數(shù)進而可得b_n+1=2b_n，原式得證，
（2）根據(jù)（1）中數(shù)列{b_n}的首項和公比，可求得b_n，進而可求得C_n，通過錯位相減法求得數(shù)列{C_n}的前n項和，
（3）先根據(jù)a_n+1=a_n²+2a_n可推知，進而求得d_n與a_n+1和a_n的關(guān)系式，由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1可求得a_n，代入d_n與a_n+1和a_n的關(guān)系式，即可求得d_n，由知，進而證明．
解答：解：（1）證明：由題意知：a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=9，∴a_n+1＞0，
∴l(xiāng)g（a_n+1+1）=lg（a_n+1）²即b_n+1=2b_n，
又∵b₁=lg（1+a₁）=1＞0
∴{b_n}是首項為1比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知：b_n=b₁•2^n-1=2^n-1∴C_n=n•2ⁿ，設(shè){C_n}的前n項和為S_n．
∴S_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹

∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
{C_n}的前n項和為n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
（3）∵a_n+1=a_n²+2a_n=a_n（a_n+2）＞0∴
∴∴
∴
又由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1∴∴
∴又由知．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和．對于一些特殊數(shù)列的求和可利用錯位相減法、裂項法等方法來解決．