Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面 ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是PC，AP的中點(diǎn)．
（1）求證：側(cè)面 PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）求點(diǎn)P到平面BEF的距離；
（3）求異面直線AE與 BF所成的角的余弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出側(cè)面 PAC的一個(gè)法向量和側(cè)面PBC一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，判斷兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，即可得到側(cè)面 PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可得EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，由面面垂直的性質(zhì)可得PC⊥平面BEF，故PE長(zhǎng)即為P點(diǎn)到平面PEF的距離．
（3）求異面直線AE與 BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出求異面直線AE與 BF所成的角的余弦．
解答：解：（1）以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件可設(shè)P（0，0，4），B（0，0，0），C（0，-4，0），A（4，-4，0）；
則E（0，-2，2），F(xiàn)（2，-2，2），（2分）
平面PBC的法向量=（1，0，0），而=，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181915617384938/SYS201310241819156173849018_DA/12.png">=0，所以側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC；（2分）
（2）證明：在等腰直角三角形PBC中，BE⊥PC，又中位線EF∥AC，而由（1）AC⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC，
∴EF⊥PC，（2分）
所以PC⊥平面BEF，那么線段即為點(diǎn)P到平面BEF的距離．（2分）
（3）由（1）所建坐標(biāo)系，得 =（-4 ，2 ，2 ），=（2 ，-2 ，2 ），
∴•=-16，又||•||=24 ，（2分）
cos＜，＞=-，∴AE與 BF所成的角的余弦值是．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，其中（1）（3）的關(guān)鍵是利用空間坐標(biāo)系，將線線夾角及面面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，（2）的關(guān)鍵是求了點(diǎn)P到平面BEF距離對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)．