Question

【題目】某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售Q（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q= （x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)元此產(chǎn)品仍需再投入32萬(wàn)元，若每件銷售價(jià)為“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和．
（1）試將年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32Q+3）萬(wàn)元，

每萬(wàn)件銷售價(jià)為 ，

∴年銷售收入為 = ，

∴年利潤(rùn) =

（2）解：令x+1=t（t≥1），則 ．

∵t≥1，∴ ，即W≤42，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即t=8時(shí)，W有最大值42，此時(shí)x=7．

即當(dāng)年廣告費(fèi)為7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大值為42萬(wàn)元．

【解析】（1）根據(jù)生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬(wàn)元，若每件售價(jià)為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和，可建立函數(shù)關(guān)系式；（2）利用換元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．