Question

39、證明：xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

Answer 1

分析：要證明xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．我們可使用數(shù)學(xué)歸納法：先證明n=1時，結(jié)論xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立，再假設(shè)n=k時，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．進(jìn)而證明：n=k+1時，結(jié)論xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）也成立，即可得到結(jié)論．

解答：證明：當(dāng)n=1時，
xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x-x=0
易得此時xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立；
設(shè)n=k時，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立，
即x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k能被（x-a）²整除成立，
則n=k+1時，
xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1
=x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k+ka^k─1（x─a）²
即xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1也能被（x-a）²整除
綜合，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

點評：本題考查的知識點是數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．