Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=．
（1）當(dāng)n∈N^*時，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)a_n=n•f（n），n∈N^*，求證a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2；
（3）設(shè)b_n=（9-n），n∈N^*，S_n為b_n的前n項(xiàng)和，當(dāng)S_n最大時，求n的值．

Answer 1

解：（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=f（n），
所以{f（n）}是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，即f（n）=；
（2）∵，，
，
兩式相減得：，
整理得．
（3）∵f（n）=，而b_n=（9-n），n∈N^*，則b_n=，
當(dāng)n≤8時，b_n＞0；當(dāng)n=9時，b_n=0；當(dāng)n＞9時，b_n＜0；
∴n=8或9時，S_n取到最大值．
分析：（1）由于函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）對任意的實(shí)數(shù)x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）=得到f（n）的表達(dá)式；
（2）由（1）知，a_n=n•f（n）=，故可用錯位相減法求出a₁+a₂+a₃+…+a_n的表達(dá)式，即可得證；
（3）由（1）和b_n=（9-n），n∈N^*可求b_n的表達(dá)式，進(jìn)而求出S_n，由于數(shù)列為一種特殊函數(shù)，故可利用函數(shù)單調(diào)性得到S_n最大時的n值．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列求和的錯位相減法法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，著重考查考生的運(yùn)算能力．